Контрольні запитання
1. Дайте означення потужності.
Потужність — це фізична величина, що показує швидкість виконання роботи і дорівнює відношенню виконаної роботи до часу, за який її виконали.
2. Назвіть одиницю потужності в СІ і дайте її означення.
Одиницею потужності в СІ є ват (Вт). 1 Вт — це така потужність, за якої протягом однієї секунди виконується робота в один джоуль.
3. Яку позасистемну одиницю потужності ви знаєте?
Я знаю таку позасистемну одиницю потужності, як кінська сила (к. с.).
$1 \text{ к.с.} = 735{,}5 \ \text{Вт}$.
4. Як визначити потужність, яку розвиває тіло, якщо відомі сила, що діє на тіло, і швидкість руху тіла?
Якщо відомі сила та швидкість, потужність можна визначити, помноживши силу тяги на швидкість руху тіла за формулою $N = Fv$.
Вправа
1. Вчителька і учень за однаковий час піднялися сходами з першого поверху на другий. Хто з них розвинув більшу потужність?
Потужність визначається за формулою:
$$ P = \dfrac{A}{t} $$
де $A$ — виконана робота, $t$ — час, за який цю роботу виконано.
Робота, яка виконується при підйомі на певну висоту, є роботою проти сили тяжіння і розраховується як:
$$ A = m \cdot g \cdot h $$
де $m$ — маса тіла, $g$ — прискорення вільного падіння, $h$ — висота підйому.
За умовою задачі, час ($t$) та висота підйому ($h$) для вчительки та учня однакові. Прискорення вільного падіння ($g$) також є сталою величиною. Отже, потужність залежить прямо пропорційно від маси тіла:
$$ P = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{t} $$
Більшу потужність розвинув той, хто має більшу масу. Зазвичай, маса дорослої вчительки більша за масу учня.
Відповідь: Хто важче.
2. Під час змагань хлопчик розвинув потужність 160 Вт. Яку роботу виконав хлопчик за 20 с?
Дано:
- $P = 160 \text{ Вт}$
- $t = 20 \text{ с}$
Знайти: $A = ?$
Розв’язання:
Для знаходження роботи використаємо формулу потужності $P = \dfrac{A}{t}$, звідки виразимо роботу $A$:
$$ A = P \cdot t $$
Підставимо числові значення:
$$ A = 160 \text{ Вт} \cdot 20 \text{ с} = 3200 \text{ Дж} $$
Роботу можна також виразити у кілоджоулях:
$$ A = 3200 \text{ Дж} = 3,2 \text{ кДж} $$
Відповідь: хлопчик виконав роботу 3200 Дж (або 3,2 кДж).
3. За який час двигун автомобіля, розвиваючи потужність 150 кВт, виконає роботу 900 кДж?
Дано:
- $P = 150 \text{ кВт}$
- $A = 900 \text{ кДж}$
Знайти: $t = ?$
Розв’язання:
Використаємо формулу потужності $P = \dfrac{A}{t}$, з якої знайдемо час $t$:
$$ t = \dfrac{A}{P} $$
Перед розрахунком переведемо всі величини в основні одиниці системи СІ (Ватти та Джоулі):
$$ P = 150 \text{ кВт} = 150 \cdot 1000 = 150000 \text{ Вт} $$
$$ A = 900 \text{ кДж} = 900 \cdot 1000 = 900000 \text{ Дж} $$
Підставимо значення у формулу:
$$ t = \dfrac{900000 \text{ Дж}}{150000 \text{ Вт}} = 6 \text{ с} $$
Відповідь: двигун виконає роботу за 6 с.
4. Загальна потужність двигунів літака становить 10 МВт. Визначте силу опору рухові, якщо літак рухається зі швидкістю 720 км/год.
Дано:
- $P = 10 \text{ МВт}$
- $v = 720 \text{ км/год}$
Знайти: $F_{опору} = ?$
Розв’язання:
При рівномірному русі сила тяги двигунів дорівнює силі опору: $F_{тяги} = F_{опору}$. Потужність пов’язана зі швидкістю та силою тяги формулою:
$$ P = F_{тяги} \cdot v $$
Звідси можемо знайти силу тяги (а отже, і силу опору):
$$ F_{опору} = F_{тяги} = \dfrac{P}{v} $$
Переведемо величини в одиниці системи СІ (Ватти та м/с):
$$ P = 10 \text{ МВт} = 10 \cdot 10^6 \text{ Вт} = 10 000 000 \text{ Вт} $$
$$ v = 720 \dfrac{\text{км}}{\text{год}} = 720 \cdot \dfrac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 200 \text{ м/с} $$
Тепер розрахуємо силу опору:
$$ F_{опору} = \dfrac{10 000 000 \text{ Вт}}{200 \text{ м/с}} = 50 000 \text{ Н} $$
Результат можна подати у кілоньютонах:
$$ F_{опору} = 50 000 \text{ Н} = 50 \text{ кН} $$
Відповідь: сила опору рухові літака становить 50 000 Н (або 50 кН).
5. На графіку подано залежність сили тяги мотоцикла від шляху, який він долає за 2 хв руху. Визначте середню потужність двигуна мотоцикла.
Дано:
- $t = 2 \text{ хв}$
- Графік залежності сили тяги $F$ від шляху $l$
Знайти: $P_{сер} = ?$
Розв’язання:
Середня потужність визначається за формулою:
$$ P_{сер} = \dfrac{A}{t} $$
де $A$ — це повна робота, виконана двигуном, а $t$ — час руху.
Роботу можна знайти як площу фігури під графіком залежності $F(l)$. Графік складається з двох ділянок, які утворюють трапецію (або трикутник і прямокутник):
Ділянка 1 (0 – 600 м): Рух зі зростаючою силою тяги. Робота на цій ділянці дорівнює площі трикутника.
Основа трикутника: $l_1 = 600 \text{ м}$
Висота трикутника (сила): $F_{max} = 1,5 \text{ кН} = 1500 \text{ Н}$
Робота $A_1$:
$$ A_1 = \dfrac{1}{2} \cdot l_1 \cdot F_{max} = \dfrac{1}{2} \cdot 600 \text{ м} \cdot 1500 \text{ Н} = 450 000 \text{ Дж} $$
Ділянка 2 (600 – 1200 м): Рух із постійною силою тяги. Робота на цій ділянці дорівнює площі прямокутника.
Довжина ділянки: $l_2 = 1200 \text{ м} – 600 \text{ м} = 600 \text{ м}$
Сила тяги: $F = 1,5 \text{ кН} = 1500 \text{ Н}$
Робота $A_2$:
$$ A_2 = l_2 \cdot F = 600 \text{ м} \cdot 1500 \text{ Н} = 900 000 \text{ Дж} $$
Загальна робота $A$ дорівнює сумі робіт на обох ділянках:
$$ A = A_1 + A_2 = 450 000 \text{ Дж} + 900 000 \text{ Дж} = 1 350 000 \text{ Дж} = 1350 \text{ кДж} $$
Переведемо час у секунди:
$$ t = 2 \text{ хв} = 2 \cdot 60 \text{ с} = 120 \text{ с} $$
Тепер визначимо середню потужність:
$$ P_{сер} = \dfrac{A}{t} = \dfrac{1 350 000 \text{ Дж}}{120 \text{ с}} = 11 250 \text{ Вт} = 11,25 \text{ кВт} $$
Відповідь: середня потужність двигуна мотоцикла становить 11,25 кВт.
6. «Три ущелини» — розташована в Китаї найпотужніша гідроелектростанція у світі. Вона може замінити 9 атомних електростанцій. Висота її греблі дорівнює 180 м, потужність водного потоку 22,5 ГВт. Визначте об’єм води, що падає з греблі за хвилину.
Дано:
- $P = 22{,}5\cdot 10^{9}\ \text{Вт}$
- $h = 180\ \text{м}$
- $t = 60\ \text{с}$
- $\rho = 1000\ \text{кг/м}^3$
- $g = 10\ \text{м/с}^2$ (за умовою)
Знайти: $V = ?$
Розв’язок:
$$ P = \dfrac{A}{t} = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{t} = \dfrac{\rho \cdot V \cdot g \cdot h}{t} \Rightarrow V = \dfrac{P \cdot t}{\rho \cdot g \cdot h} $$
$$ V = \dfrac{22{,}5\cdot 10^{9}\ \text{Вт} \cdot 60\ \text{с}}{1000\ \text{кг/м}^3 \cdot 10\ \text{м/с}^2 \cdot 180\ \text{м}} = 7{,}5\cdot 10^{5}\ \text{м}^3 $$
Відповідь: $ V = 7{,}5\cdot 10^{5}\ м^3 $ за хвилину.
7. Складіть 1-2 задачі за темою § 5. Розв’яжіть одержані задачі; їхні умови та розв’язання оформте на окремому аркуші.
Задача 1. Людина піднімає відро з піском масою 15 кг на висоту 4 м за 6 с. Яку потужність розвиває людина?
Дано:
- $m = 15 \text{ кг}$
- $h = 4 \text{ м}$
- $t = 6 \text{ с}$
- $g \approx 10 \text{ Н/кг}$
Знайти: $N = ?$
Розв’язання:
Робота, виконана людиною:
$$ A = m \cdot g \cdot h $$
Потужність:
$$ N = \dfrac{A}{t} = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{t} $$
Підставимо значення:
$$ N = \dfrac{15 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 4 \text{ м}}{6 \text{ с}} = \dfrac{600 \text{ Дж}}{6 \text{ с}} = 100 \text{ Вт} $$
Відповідь: людина розвиває потужність 100 Вт.
Задача 2. Автомобіль рухається рівномірно зі швидкістю 90 км/год. Визначте силу тяги двигуна, якщо його потужність становить 50 кВт.
Дано:
- $v = 90 \text{ км/год}$
- $P = 50 \text{ кВт}$
Знайти: $F = ?$
Розв’язання:
Потужність при рівномірному русі пов’язана із силою тяги та швидкістю:
$$ P = F \cdot v $$
Звідси виразимо силу тяги:
$$ F = \dfrac{P}{v} $$
Переведемо величини в одиниці СІ:
- $v = 90 \dfrac{\text{км}}{\text{год}} = \dfrac{90 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 25 \text{ м/с}$
- $P = 50 \text{ кВт} = 50 000 \text{ Вт}$
Підставимо значення:
$$ F = \dfrac{50 000 \text{ Вт}}{25 \text{ м/с}} = 2000 \text{ Н} = 2 \text{ кН} $$
Відповідь: сила тяги двигуна становить 2 кН