Розглянемо детально сім практичних задач з динаміки, які допоможуть учням краще зрозуміти основні принципи взаємодії сил та умови рівноваги тіл.
Для розв’язування подібних задач корисно пам’ятати основні закони:
- Перший закон Ньютона: при рівномірному русі сума всіх сил дорівнює нулю
- Закон Гука: $F = k \cdot \Delta l$
- Закон Амонтона-Кулона: $F_{терт} = \mu \cdot N$
Задача 1: Рівномірний рух візка
Умова: Візок рівномірно тягнуть горизонтальною поверхнею за допомогою горизонтально натягнутої мотузки. Виконайте рисунок, на якому зобразіть візок і сили, що на нього діють. Чому дорівнює сила тертя кочення, що діє на візок, якщо до мотузки прикладають силу 40 Н?
Дано:
- $F_{тяг} = 40$ Н
- рух рівномірний
Знайти: $F_{терт} = ?$
Розв’язання:
Оскільки візок рухається прямолінійно рівномірно, то всі сили, що на нього діють, скомпенсовані.
За першим законом Ньютона: $F_{тяг} = F_{терт}$
Підставляємо значення: $F_{терт} = 40 \text{ Н}$
Відповідь: 40 Н
Задача 2: Книжка з пеналом на столі
Умова: Книжка нерухомо лежить на горизонтальній поверхні стола. На книжку поклали пенал вагою 1,5 Н. Визначте силу тяжіння, що діє на книжку, та масу книжки, якщо з боку стола на неї діє сила нормальної реакції опори 5 Н.
Дано:
- $P_{пенал} = 1,5$ Н
- $N = 5$ Н
- система нерухома
Знайти: $P_{книжка} = ?$, $m_{книжка} = ?$
Розв’язання:
Оскільки книжка нерухома, діє умова рівноваги: $N = P_{книжка} + P_{пенал}$
Знаходимо силу тяжіння книжки: $P_{книжка} = N – P_{пенал} = 5 – 1,5 = 3,5 \text{ Н}$
Знаходимо масу книжки: $m_{книжка} = \dfrac{P_{книжка}}{g} = \dfrac{3,5}{10} = 0,35 \text{ кг}$
Відповідь: $P_{книжка} = 3,5$ Н, $m_{книжка} = 0,35$ кг
Задача 3: Зрушення шафи з місця
Умова: Намагаючись зрушити з місця шафу, до неї прикладають горизонтальну силу, що поступово збільшується. Шафа почала рухатися, коли сила досягла 175 Н. 1) Як змінювалася сила тертя між шафою та підлогою? 2) Яким є коефіцієнт тертя ковзання між шафою та підлогою, якщо маса шафи становить 70 кг?
Дано:
- $F_{макс} = 175$ Н
- $m = 70$ кг
- $g = 10$ м/с²
Знайти: $\mu = ?$
Розв’язання:
а) Сила тертя спокою збільшувалась від 0 до 175 Н
б) Сили, що діють на шафу, мають бути попарно скомпенсовані: $N = mg = 70 \cdot 10 = 700 \text{ Н}$
Коефіцієнт тертя за законом Амонтона-Кулона: $\mu = \dfrac{F_{терт}}{N} = \dfrac{175}{700} = 0,25$
Відповідь: сила тертя збільшувалась від 0 до 175 Н; $\mu = 0,25$
Задача 4: Кубик на динамометрі
Умова: Знайдіть густину речовини, з якої виготовлений кубик, і жорсткість пружини динамометра, якщо ребро кубика дорівнює 4 см, а видовження пружини — 5 см.
Дано:
- $a = 4$ см $= 0,04$ м
- $\Delta l = 5$ см $= 0,05$ м
- з рисунка: $F = 2$ Н
Знайти: $\rho = ?$, $k = ?$
Розв’язання:
Знаходимо масу: $m = \dfrac{P}{g} = \dfrac{2}{10} = 0,2 \text{ кг}$
Обчислюємо об’єм: $V = a^3 = (0,04)^3 = 6,4 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$
Знаходимо густину: $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0,2}{6,4 \cdot 10^{-5}} = 3125 \text{ кг/м}^3$
За законом Гука: $k = \dfrac{F}{\Delta l} = \dfrac{2}{0,05} = 40 \text{ Н/м}$
Відповідь: $\rho = 3125$ кг/м³, $k = 40$ Н/м
Задача 5: Брусок на пружині
Умова: За допомогою пружини жорсткістю 96 Н/м брусок масою 2,4 кг рівномірно тягнуть по столу. Яким є видовження пружини, якщо коефіцієнт тертя між бруском і столом дорівнює 0,2?
Дано:
- $k = 96$ Н/м
- $m = 2,4$ кг
- $\mu = 0,2$
- $g = 10$ м/с²
Знайти: $\Delta l = ?$
Розв’язання:
Сили, що діють на брусок, мають бути попарно скомпенсовані: $F_{пруж} = F_{терт}$
За законом Амонтона-Кулона: $F_{терт} = \mu \cdot mg = 0,2 \cdot 2,4 \cdot 10 = 4,8 \text{ Н}$
За законом Гука: $F_{пруж} = k \cdot \Delta l$
Прирівнюємо: $k \cdot \Delta l = \mu \cdot mg$
Підставляємо значення: $\Delta l = \dfrac{\mu \cdot mg}{k} = \dfrac{4,8}{96} = 0,05 \text{ м} = 5 \text{ см}$
Відповідь: 5 см
Задача 6: Дошка на двох пружинах
Умова: Дошку масою 400 г підвішено на двох однакових вертикальних пружинах; жорсткість кожної пружини — 80 Н/м. На середину дошки поклали вантаж масою 2 кг. Визначте видовження пружин після того, як коливання дошки припинились.
Дано:
- $m_1 = 0,4$ кг
- $m_2 = 2$ кг
- $k = 80$ Н/м (для кожної пружини)
- $g = 10$ м/с²
Знайти: $\Delta l = ?$
Розв’язання:
Рівняння рівноваги системи: $2k \cdot \Delta l = (m_1 + m_2) \cdot g$
За законом Гука для обох пружин: $F_{пруж} = 2k \cdot \Delta l$
Сили тяжіння: $P = (m_1 + m_2) \cdot g = (0,4 + 2) \cdot 10 = 24 \text{ Н}$
Підставляємо в рівняння рівноваги: $\Delta l = \dfrac{(m_1 + m_2) \cdot g}{2k} = \dfrac{24}{2 \cdot 80} = \dfrac{24}{160} = 0,15 \text{ м}$
Відповідь: 15 см
Задача 7: Самостійна задача на рівномірний рух
Умова: На горизонтальній поверхні лежить брусок масою 2 кг. До нього прикріплена пружина з жорсткістю 50 Н/м, яка знаходиться у розтягнутому стані на відстань 0,1 м. Коефіцієнт тертя між бруском і поверхнею дорівнює 0,3. Знайти силу натягу пружини і перевірити, чи буде брусок рухатися рівномірно.
Дано:
- $m = 2$ кг
- $k = 50$ Н/м
- $\Delta l = 0,1$ м
- $\mu = 0,3$
- $g = 10$ м/с²
Знайти: $F_{пруж} = ?$, умова руху
Розв’язання:
Сила тяжіння та нормальна реакція опори: $N = mg = 2 \cdot 10 = 20 \text{ Н}$
Сила тертя ковзання за законом Амонтона-Кулона: $F_{терт} = \mu \cdot N = 0,3 \cdot 20 = 6 \text{ Н}$
Сила пружності за законом Гука: $F_{пруж} = k \cdot \Delta l = 50 \cdot 0,1 = 5 \text{ Н}$
Перевірка рівноваги: Якщо сила пружності менша за силу тертя, то брусок не буде рухатися.
У нашому випадку: $F_{пруж} = 5 \text{ Н} < F_{терт} = 6 \text{ Н}$
Оскільки $F_{пруж} < F_{терт}$, брусок не буде рухатися.
Відповідь: Брусок не рухатиметься, оскільки сила тертя більша за силу натягу пружини.