А ЯК НАСПРАВДІ?
Ух. Як я втомилася! – промовила Аліна своїй подрузі, яка зазирнула до неї. — Я сьогодні пересувала меблі. Тобі подобається? – Подобається, але сила тертя втомилася не менше за тебе, адже вона виконала ту саму роботу, — пожартувала подруга. – Не може бути! – обурилась Аліна. – Якби сила тертя виконала ту саму роботу, то меблі так і залишилися б на місці. А як на вашу думку, хто з дівчат має рацію?
Обидві частково неправі. Робота сили тертя не «та сама», що робота Аліни: тертя виконує від’ємну роботу (спрямована проти руху) і за модулем менша від роботи, яку робить Аліна, бо меблі все-таки зрушили й перемістилися. Якщо б модуль роботи тертя дорівнював роботі Аліни, результуюча робота була б нуль, і меблі справді залишилися б на місці. Тож правильне твердження: Аліна виконує додатну роботу, тертя — від’ємну; вони не рівні за модулем у випадку, коли меблі рухаються.
Контрольні запитання
1. Дайте означення механічної роботи.
Механічна робота — це фізична величина, що характеризує зміну положення тіла під дією сили і дорівнює добутку сили на шлях, подоланий тілом у напрямку цієї сили. Формула для обчислення: $A = Fl$.
2. Назвіть одиницю роботи в СІ і дайте її означення.
Одиницею роботи в СІ є джоуль (Дж). Один джоуль дорівнює механічній роботі, яку виконує сила в 1 Н, переміщуючи тіло на 1 м у напрямку дії цієї сили. Тобто, $1 Дж = 1 Н \cdot м$.
3. На честь якого вченого отримала назву одиниця роботи?
Одиниця роботи названа на честь англійського вченого Джеймса Прескотта Джоуля.
4. У яких випадках механічна робота є додатною? від’ємною? дорівнює нулю?
Механічна робота може бути:
- Додатною ($A > 0$), коли напрямок сили збігається з напрямком руху тіла.
- Від’ємною ($A < 0$), коли напрямок сили протилежний напрямку руху тіла.
- Дорівнювати нулю ($A = 0$), коли сила перпендикулярна до напрямку руху тіла.
5. У чому полягає геометричний зміст механічної роботи?
Якщо напрямок сили збігається з напрямком руху тіла, робота цієї сили чисельно дорівнює площі фігури під графіком залежності сили від шляху (для змінної сили — площа під кривою).
Вправа № 4
1. Тягар нерухомо висить на пружині. Чи виконує роботу сила пружності, яка діє на тягар? Чи виконує роботу сила тяжіння?
Механічна робота виконується лише тоді, коли тіло рухається під дією сили. Формула для роботи: $A = F \cdot l$.
Оскільки тягар висить нерухомо, його переміщення ($l$) дорівнює нулю. Отже, попри те, що на тягар діють і сила пружності, і сила тяжіння, жодна з цих сил не виконує роботу.
$A = F \cdot 0 = 0 \text{ Дж}$
2. Чи виконує роботу сила тяжіння, що діє на баскетбольний м’яч, який:
а) М’яч лежить на землі: М’яч нерухомий, переміщення дорівнює нулю. Сила тяжіння не виконує роботу.
б) М’яч летить угору: М’яч рухається вгору, а сила тяжіння напрямлена вниз. Оскільки напрямок сили протилежний напрямку руху, сила тяжіння виконує від’ємну роботу ($A < 0$).
в) М’яч падає: М’яч рухається вниз, і сила тяжіння також напрямлена вниз. Оскільки напрямок сили збігається з напрямком руху, сила тяжіння виконує додатну роботу ($A > 0$).
3. Наведіть приклади ситуацій (не розглянуті в параграфі), коли сила, яка діє на тіло, виконує додатну роботу; виконує від’ємну роботу; не виконує роботи.
Додатна робота: Людина штовхає візок у магазині. Сила, яку прикладає людина, напрямлена в той самий бік, що і рух візка.
Від’ємна робота: Парашутист спускається на землю з постійною швидкістю. Сила опору повітря напрямлена вгору, протилежно до руху парашутиста. Ця сила виконує від’ємну роботу.
Робота не виконується:
- Атлет тримає штангу над головою, не рухаючи її. Переміщення дорівнює нулю, тому робота не виконується.
- Планета обертається навколо Сонця по коловій орбіті. Сила гравітаційного притягання Сонця перпендикулярна до напрямку руху планети в будь-якій точці орбіти.
4. Прикладаючи горизонтальну силу 50 Н, поверхнею стола протягли з незмінною швидкістю вантаж. Відомо, що при цьому було виконано роботу 150 Дж. Який шлях подолав вантаж?
Дано:
- $F = 50 \text{ Н}$
- $A = 150 \text{ Дж}$
Знайти:
- $l = ?$
Розв’язання:
Робота, сила і шлях пов’язані формулою:
$A = F \cdot l$
З цієї формули виразимо шлях $l$:
$l = \dfrac{A}{F}$
Підставимо числові значення:
$l = \dfrac{150 \text{ Дж}}{50 \text{ Н}} = 3 \text{ м}$
Відповідь: Вантаж подолав шлях 3 м.
5. Камінь масою 4 кг падає з висоти 5 м. Яка сила виконує додатну роботу під час падіння каменя? Чому дорівнює ця робота? 6. Дівчина веде велосипед, прикладаючи горизонтальну силу 40 Н. При цьому велосипед рухається рівномірно. Визначте швидкість руху велосипеда, якщо за 5 хв дівчина виконала роботу 12 кДж.
Дано:
- $m = 4 \text{ кг}$
- $h = 5 \text{ м}$
- $g \approx 10 \text{ Н/кг}$
Знайти:
- $A = ?$
Розв’язання: Під час падіння каменя додатну роботу виконує сила тяжіння, оскільки її напрямок (вертикально вниз) збігається з напрямком руху каменя.
Роботу обчислимо за формулою:
$$ A = F \cdot l $$
У цьому випадку сила $F$ — це сила тяжіння ($F_{тяж}$), а шлях $l$ — це висота $h$.
$$ F_{тяж} = m \cdot g $$
$$ A = F_{тяж} \cdot h = m \cdot g \cdot h $$
Підставимо значення:
$$ A = 4 \text{ кг} \cdot 10 \dfrac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 5 \text{ м} = 200 \text{ Н} \cdot \text{м} = 200 \text{ Дж} $$
Відповідь: Додатну роботу виконує сила тяжіння, і ця робота дорівнює 200 Дж.
6. Дівчина веде велосипед, прикладаючи горизонтальну силу 40 Н. При цьому велосипед рухається рівномірно. Визначте швидкість руху велосипеда, якщо за 5 хв дівчина виконала роботу 12 кДж.
Дано:
- $F = 40 \text{ Н}$
- $t = 5 \text{ хв}$
- $A = 12 \text{ кДж}$
Знайти:
- $v = ?$
Розв’язання:
Спочатку переведемо всі величини в основні одиниці системи СІ.
$$ t = 5 \text{ хв} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с} $$
$$ A = 12 \text{ кДж} = 12 \cdot 1000 \text{ Дж} = 12000 \text{ Дж} $$
Робота визначається за формулою:
$$ A = F \cdot l $$
Оскільки велосипед рухається рівномірно, пройдений шлях ($l$) можна знайти через швидкість ($v$) і час ($t$):
$$ l = v \cdot t $$
Підставимо вираз для шляху у формулу роботи:
$$ A = F \cdot (v \cdot t) $$
Звідси виразимо швидкість $v$:
$$ v = \dfrac{A}{F \cdot t} $$
Підставимо числові значення:
$$ v = \dfrac{12000 \text{ Дж}}{40 \text{ Н} \cdot 300 \text{ с}} = \dfrac{12000}{12000} \dfrac{\text{м}}{\text{с}} = 1 \dfrac{\text{м}}{\text{с}} $$
Відповідь: Швидкість руху велосипеда становить 1 м/с.
7. Під тиском газу поршень у циліндрі рівномірно пересунувся на 4 см (див. рисунок). Яку роботу виконав газ? Тиск газу в циліндрі є незмінним і становить 0,6 МПа; площа поршня – 0,005 м².
Дано:
- $l = 4 \text{ см}$
- $p = 0,6 \text{ МПа}$
- $S = 0,005 \text{ м}^2$
Знайти:
- $A = ?$
Розв’язання:
Спочатку переведемо всі величини в основні одиниці системи СІ.
$l = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
$p = 0,6 \text{ МПа} = 0,6 \cdot 10^6 \text{ Па} = 600000 \text{ Па}$
Робота газу обчислюється за формулою:
$A = F \cdot l$
Сила $F$, з якою газ діє на поршень, пов’язана з тиском $p$ і площею поршня $S$ співвідношенням:
$F = p \cdot S$
Підставимо вираз для сили у формулу роботи:
$A = p \cdot S \cdot l$
Тепер підставимо числові значення:
$A = 600000 \text{ Па} \cdot 0,005 \text{ м}^2 \cdot 0,04 \text{ м} = 120 \text{ Дж}$
Відповідь: Газ виконав роботу 120 Дж.
8. Складіть задачу, обернену до задачі, яку розглянуто в § 4, і розв’яжіть її. 4 см
Умова (обернена задача): За допомогою пружини жорсткістю 25 Н/м брусок пересувають по столу зі швидкістю 5 см/с. Сила пружності виконала роботу 1 Дж, а видовження пружини становило 4 см. Протягом якого часу рухався брусок?
Дано:
- $k = 25 \dfrac{\text{Н}}{\text{м}}$
- $v = 5 \dfrac{\text{см}}{\text{с}} = 0,05 \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$
- $A = 1 \text{ Дж}$
- $x = 4 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$
Знайти:
- $t = ?$
Розв’язання:
Робота сили пружності визначається як:
$A = F_{пруж} \cdot l$
Сила пружності знаходиться за законом Гука: $F_{пруж} = k \cdot x$.
Шлях, пройдений бруском, можна виразити через швидкість і час: $l = v \cdot t$.
Підставимо ці вирази у формулу роботи:
$A = (k \cdot x) \cdot (v \cdot t)$
Звідси виразимо час $t$:
$t = \dfrac{A}{k \cdot x \cdot v}$
Підставимо числові значення:
$t = \dfrac{1 \text{ Дж}}{25 \dfrac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot 0,04 \text{ м} \cdot 0,05 \dfrac{\text{м}}{\text{с}}} = \dfrac{1}{1 \cdot 0,05} \text{ с} = 20 \text{ с}$
Відповідь: Брусок рухався протягом 20 с.
9. Яку роботу треба виконати, щоб підняти з дна на поверхню озера камінь масою 15 кг? Глибина озера становить 2 м, середня густина каменя – 3000 кг/м3. Опором води знехтуйте.
Дано:
- $m = 15 \text{ кг}$
- $h = 2 \text{ м}$
- $\rho_{к} = 3000 \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
- $\rho_{в} = 1000 \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (густина води)
- $g \approx 10 \dfrac{\text{Н}}{\text{кг}}$
Знайти:
- $A = ?$
Розв’язання:
Для підйому каменя потрібно прикласти силу $F$, яка долає його вагу у воді. Вага тіла у воді — це різниця між силою тяжіння $F_{тяж}$ і виштовхувальною силою Архімеда $F_А$.
$F = F_{тяж} – F_А$
Сила тяжіння: $F_{тяж} = m \cdot g$.
Сила Архімеда: $F_А = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{к}$, де $V_к$ — об’єм каменя.
Об’єм каменя знайдемо через його масу та густину: $V_{к} = \dfrac{m}{\rho_{к}}$.
Тоді сила Архімеда: $F_А = \rho_{в} \cdot g \cdot \dfrac{m}{\rho_{к}}$.
Сила, яку потрібно прикласти для підйому:
$F = m \cdot g – \rho_{в} \cdot g \cdot \dfrac{m}{\rho_{к}} = m \cdot g \cdot \left(1 – \dfrac{\rho_{в}}{\rho_{к}}\right)$
Робота, яку потрібно виконати:
$A = F \cdot h = m \cdot g \cdot h \cdot \left(1 – \dfrac{\rho_{в}}{\rho_{к}}\right)$
Підставимо значення:
$A = 15 \text{ кг} \cdot 10 \dfrac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 2 \text{ м} \cdot \left(1 – \dfrac{1000 \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{3000 \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}}\right) = 300 \text{ Дж} \cdot \left(1 – \dfrac{1}{3}\right) = 300 \text{ Дж} \cdot \dfrac{2}{3} = 200 \text{ Дж}$
Відповідь: Потрібно виконати роботу 200 Дж.