Контрольні запитання
1. Сформулюйте закон збереження енергії, на підставі якого складають рівняння теплового балансу.
У замкненій системі, де зміна внутрішньої енергії тіл відбувається лише через теплообмін між ними, кількість теплоти, віддана одними тілами, дорівнює кількості теплоти, одержаній іншими:
Q₁⁻ + Q₂⁻ + … + Qₙ⁻ = Q₁⁺ + Q₂⁺ + … + Qₖ⁺
2. Назвіть умови, які мають виконуватися для використання рівняння теплового балансу.
- Система не обмінюється енергією з довкіллям (теплообмін із навколишнім середовищем відсутній).
- Після теплообміну встановлюється теплова рівновага: усі тіла мають однакову кінцеву температуру.
- У розрахунках беруть модулі кількостей теплоти, від більшої температури віднімають меншу для кожного члена рівняння.
Вправа 17
Виконуючи завдання, теплообміном із довкіллям знехтуйте.
1. У ванну налили 80 кг води за температури 10 °С. Скільки води за температури 100 °С потрібно додати у ванну, щоб температура води в ній стала 25 °С?
Дано:
$m_1 = 80$ кг
$t_1 = 10$ °С
$t_2 = 100$ °С
$t = 25$ °С
$c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Знайти:
$m_2 = ?$
Розв’язання:
Складемо рівняння теплового балансу. Холодна вода отримує теплоту, гаряча вода віддає теплоту:
$Q_{\text{отримана}} = Q_{\text{віддана}}$
$c \cdot m_1 \cdot (t – t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 – t)$
Скоротимо питому теплоємність води $c$:
$m_1 \cdot (t – t_1) = m_2 \cdot (t_2 – t)$
Виразимо $m_2$:
$m_2 = \dfrac{m_1 \cdot (t – t_1)}{t_2 – t}$
Підставимо числові значення:
$m_2 = \dfrac{80 \cdot (25 – 10)}{100 – 25} = \dfrac{80 \cdot 15}{75} = \dfrac{1200}{75} = 16 \text{ кг}$
Відповідь: 16 кг
2. У каструлю налили 2 кг води за температури 40 °С, а потім додали 4 кг води за температури 85 °С. Визначте температуру суміші.
Дано:
$m_1 = 2$ кг
$t_1 = 40$ °С
$m_2 = 4$ кг
$t_2 = 85$ °С
$c = 4200$ Дж/(кг·°С)
Знайти:
$t = ?$
Розв’язання:
Складемо рівняння теплового балансу. Холодна вода отримує теплоту, гаряча вода віддає теплоту:
$Q_{\text{отримана}} = Q_{\text{віддана}}$
$c \cdot m_1 \cdot (t – t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 – t)$
Скоротимо питому теплоємність води $c$:
$m_1 \cdot (t – t_1) = m_2 \cdot (t_2 – t)$
Розкриємо дужки:
$m_1 \cdot t – m_1 \cdot t_1 = m_2 \cdot t_2 – m_2 \cdot t$
$m_1 \cdot t + m_2 \cdot t = m_2 \cdot t_2 + m_1 \cdot t_1$
$t \cdot (m_1 + m_2) = m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2$
Виразимо $t$:
$t = \dfrac{m_1 \cdot t_1 + m_2 \cdot t_2}{m_1 + m_2}$
Підставимо числові значення:
$t = \dfrac{2 \cdot 40 + 4 \cdot 85}{2 + 4} = \dfrac{80 + 340}{6} = \dfrac{420}{6} = 70 \text{ °С}$
Відповідь: 70 °С
3. У воду масою 250 г за температури 15 °С занурили нагрітий у печі сталевий брусок масою 200 г. Температура води збільшилася до 25 °С. Обчисліть температуру в печі.
Дано:
$m_1 = 250$ г $= 0{,}25$ кг
$t_1 = 15$ °С
$m_2 = 200$ г $= 0{,}2$ кг
$t = 25$ °С
$c_1 = 4200$ Дж/(кг·°С)
$c_2 = 500$ Дж/(кг·°С)
Знайти:
$t_2 = ?$
Розв’язання:
Складемо рівняння теплового балансу. Вода отримує теплоту, сталевий брусок віддає теплоту:
$Q_{\text{отримана}} = Q_{\text{віддана}}$
$c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1) = c_2 \cdot m_2 \cdot (t_2 – t)$
Виразимо $t_2$:
$c_2 \cdot m_2 \cdot (t_2 – t) = c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1)$
$t_2 – t = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1)}{c_2 \cdot m_2}$
$t_2 = t + \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1)}{c_2 \cdot m_2}$
Підставимо числові значення:
$t_2 = 25 + \dfrac{4200 \cdot 0{,}25 \cdot (25 – 15)}{500 \cdot 0{,}2} = 25 + \dfrac{4200 \cdot 0{,}25 \cdot 10}{100} = 25 + \dfrac{10500}{100} = 25 + 105 = 130 \text{ °С}$
Відповідь: 130 °С
4. Латунна посудина масою 200 г містить 400 г води за температури 20 °С. У воду опустили 800 г срібла за температури 69 °С. У результаті вода нагрілася до температури 25 °С. Визначте питому теплоємність срібла.
Дано:
$m_1 = 200$ г $= 0{,}2$ кг
$m_2 = 400$ г $= 0{,}4$ кг
$t_1 = 20$ °С
$m_3 = 800$ г $= 0{,}8$ кг
$t_2 = 69$ °С
$t = 25$ °С
$c_1 = 400$ Дж/(кг·°С)
$c_2 = 4200$ Дж/(кг·°С)
Знайти: $c_3 = ?$
Розв’язання:
Складемо рівняння теплового балансу. Латунна посудина і вода отримують теплоту, срібло віддає теплоту:[^3][^2]
$Q_{\text{отримана}} = Q_{\text{віддана}}$
$c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1) + c_2 \cdot m_2 \cdot (t – t_1) = c_3 \cdot m_3 \cdot (t_2 – t)$
Виразимо $c_3$:
$c_3 = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1) + c_2 \cdot m_2 \cdot (t – t_1)}{m_3 \cdot (t_2 – t)}$
$c_3 = \dfrac{(t – t_1) \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2)}{m_3 \cdot (t_2 – t)}$
Підставимо числові значення:
$c_3 = \dfrac{(25 – 20) \cdot (400 \cdot 0{,}2 + 4200 \cdot 0{,}4)}{0{,}8 \cdot (69 – 25)}$
$c_3 = \dfrac{5 \cdot (80 + 1680)}{0{,}8 \cdot 44}$
$c_3 = \dfrac{5 \cdot 1760}{35{,}2} = \dfrac{8800}{35{,}2} = 250 \text{ Дж/(кг·°С)}$
Відповідь: 250 Дж/(кг·°С)
5. Власні задачі на складання рівняння теплового балансу
Задача 5.1
У мідну каструлю масою 500 г налито 2 л води за температури 20 °С. Яку кількість води за температури 100 °С потрібно долити, щоб температура суміші стала 40 °С?
Дано:
$m_1 = 500$ г $= 0{,}5$ кг
$m_2 = 2$ л $= 2$ кг
$t_1 = 20$ °С
$t_2 = 100$ °С
$t = 40$ °С
$c_1 = 400$ Дж/(кг·°С)
$c_2 = 4200$ Дж/(кг·°С)
Знайти:
$m_3 = ?$
Розв’язання:
Складемо рівняння теплового балансу. Каструля і холодна вода отримують теплоту, гаряча вода віддає теплоту:
$Q_{\text{отримана}} = Q_{\text{віддана}}$
$c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1) + c_2 \cdot m_2 \cdot (t – t_1) = c_2 \cdot m_3 \cdot (t_2 – t)$
Виразимо $m_3$:
$m_3 = \dfrac{c_1 \cdot m_1 \cdot (t – t_1) + c_2 \cdot m_2 \cdot (t – t_1)}{c_2 \cdot (t_2 – t)}$
$m_3 = \dfrac{(t – t_1) \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2)}{c_2 \cdot (t_2 – t)}$
Підставимо числові значення:
$m_3 = \dfrac{(40 – 20) \cdot (400 \cdot 0{,}5 + 4200 \cdot 2)}{4200 \cdot (100 – 40)}$
$m_3 = \dfrac{20 \cdot (200 + 8400)}{4200 \cdot 60}$
$m_3 = \dfrac{20 \cdot 8600}{252000} = \dfrac{172000}{252000} \approx 0{,}68 \text{ кг}$
Відповідь: 0,68 кг або 680 г
Задача 5.2
У залізний чайник масою 1 кг налито 3 л води за температури 15 °С. Чайник поставили на плиту. Яку кількість теплоти потрібно передати чайнику з водою, щоб нагріти їх до температури 100 °С?
Дано:
$m_1 = 1$ кг
$m_2 = 3$ л $= 3$ кг
$t_1 = 15$ °С
$t_2 = 100$ °С
$c_1 = 460$ Дж/(кг·°С)
$c_2 = 4200$ Дж/(кг·°С)
Знайти:
$Q = ?$
Розв’язання:
Загальна кількість теплоти складається з теплоти на нагрівання чайника і теплоти на нагрівання води:[^3][^2]
$Q = Q_1 + Q_2$
$Q = c_1 \cdot m_1 \cdot (t_2 – t_1) + c_2 \cdot m_2 \cdot (t_2 – t_1)$
$Q = (t_2 – t_1) \cdot (c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2)$
Підставимо числові значення:
$Q = (100 – 15) \cdot (460 \cdot 1 + 4200 \cdot 3)$
$Q = 85 \cdot (460 + 12600)$
$Q = 85 \cdot 13060 = 1110100 \text{ Дж} = 1{,}11 \text{ МДж}$
Відповідь: 1,11 МДж або 1110100 Дж