Задача 1
Умова: Камінь масою 500 г кинули вертикально вгору зі швидкістю 20 м/с. Визначте кінетичну і потенціальну енергії каменя на висоті 10 м.
Дано:
$m = 500 г = 0.5 кг$
$v_0 = 20 м/с$
$h = 10 м$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти:
$E_p – ?$ $E_k – ?$
Розв’язання:
Спочатку визначимо потенціальну енергію каменя на висоті 10 м.
$E_p = m \cdot g \cdot h$ $E_p = 0.5 \cdot 10 \cdot 10 = 50 Дж$
Далі, скористаємося законом збереження механічної енергії. Повна механічна енергія на початку руху (на нульовій висоті) дорівнює повній енергії на висоті $h$.
$E_{k0} + E_{p0} = E_k + E_p$
Початкова потенціальна енергія
$E_{p0} = 0$, оскільки $h_0 = 0$.
Початкова кінетична енергія:
$E_{k0} = \dfrac{m \cdot v_0^2}{2}$ $E_{k0} = \dfrac{0.5 \cdot 20^2}{2} = \dfrac{0.5 \cdot 400}{2} = 100 Дж$
Повна механічна енергія системи:
$E = E_{k0} = 100 Дж$
Тепер знайдемо кінетичну енергію на висоті 10 м:
$E_k = E – E_p$ $E_k = 100 – 50 = 50 Дж$
Відповідь: На висоті 10 м потенціальна енергія каменя дорівнює 50 Дж, а кінетична енергія — 50 Дж.
Задача 2
Умова: Тіло, що перебувало в стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху тіла дорівнюватиме 10 м/с?
Дано:
$h_0 = 20 м$
$v_0 = 0 м/с$
$v = 10 м/с$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти:
$h – ?$
Розв’язання:
Застосуємо закон збереження механічної енергії:
$E_{k0} + E_{p0} = E_k + E_p$ $\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} + m \cdot g \cdot h_0 = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h$
Оскільки $v_0 = 0$, рівняння спрощується:
$m \cdot g \cdot h_0 = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h$
Масу $m$ можна скоротити:
$g \cdot h_0 = \dfrac{v^2}{2} + g \cdot h$
Виразимо звідси шукану висоту $h$:
$g \cdot h = g \cdot h_0 – \dfrac{v^2}{2}$
$h = h_0 – \dfrac{v^2}{2g}$
Підставимо числові значення:
$h = 20 – \dfrac{10^2}{2 \cdot 10} = 20 – \dfrac{100}{20} = 20 – 5 = 15 м$
Відповідь: Швидкість тіла дорівнюватиме 10 м/с на висоті 15 м.
Задача 3
Умова: Пружинний пістолет заряджають кулькою масою 6 г і стріляють угору. На яку висоту підніметься кулька, якщо пружину жорсткістю 180 Н/м було стиснуто на 4 см?
Дано:
$m = 6 г = 0.006 кг$
$k = 180 Н/м$
$x = 4 см = 0.04 м$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти: $h – ?$
Розв’язання: За законом збереження енергії, потенціальна енергія стиснутої пружини перетвориться на потенціальну енергію кульки, піднятої на максимальну висоту.
$E_{p, пружини} = E_{p, кульки}$ $\dfrac{k \cdot x^2}{2} = m \cdot g \cdot h$
Виразимо висоту $h$:
$h = \dfrac{k \cdot x^2}{2 \cdot m \cdot g}$
Підставимо значення:
$h = \dfrac{180 \cdot (0.04)^2}{2 \cdot 0.006 \cdot 10} = \dfrac{180 \cdot 0.0016}{0.12} = \dfrac{0.288}{0.12} = 2.4 м$
Відповідь: Кулька підніметься на висоту 2.4 м.
Задача 4
Умова: М’яч кинули вертикально вгору зі швидкістю 8 м/с. Визначте, на який висоті швидкість руху м’яча зменшиться удвічі.
Дано:
$v_0 = 8 м/с$
$v = \dfrac{v_0}{2} = 4 м/с$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти:
$h – ?$
Розв’язання:
Використаємо закон збереження енергії, прирівнявши повну енергію на початку руху (на землі) і на шуканій висоті $h$
$\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h$
Скоротимо масу $m$:
$\dfrac{v_0^2}{2} = \dfrac{v^2}{2} + g \cdot h$
Виразимо $h$:
$g \cdot h = \dfrac{v_0^2 – v^2}{2}$
$h = \dfrac{v_0^2 – v^2}{2g}$
Підставимо числові значення:
$h = \dfrac{8^2 – 4^2}{2 \cdot 10} = \dfrac{64 – 16}{20} = \dfrac{48}{20} = 2.4 м$
Відповідь: Швидкість м’яча зменшиться удвічі на висоті 2.4 м.
Задача 5
Умова: Кульку кинули горизонтально з висоти 4 м зі швидкістю 8 м/с. Визначте швидкість руху кульки в момент падіння на поверхню землі.
Дано:
$h = 4 м$
$v_0 = 8 м/с$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти:
$v – ?$
Розв’язання:
За законом збереження енергії, сума початкової кінетичної та потенціальної енергії дорівнює кінцевій кінетичній енергії (оскільки кінцева потенціальна енергія дорівнює нулю)
$E_{k0} + E_{p0} = E_k$ $\dfrac{m \cdot v_0^2}{2} + m \cdot g \cdot h = \dfrac{m \cdot v^2}{2}$
Скоротимо масу $m$:
$\dfrac{v_0^2}{2} + g \cdot h = \dfrac{v^2}{2}$
Виразимо $v^2$:
$v^2 = v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h$
Знайдемо $v$:
$v = \sqrt{v_0^2 + 2 \cdot g \cdot h}$
Підставимо значення:
$v = \sqrt{8^2 + 2 \cdot 10 \cdot 4} = \sqrt{64 + 80} = \sqrt{144} = 12 м/с$
Відповідь: Швидкість кульки в момент падіння становитиме 12 м/с.
Задача 6
Умова: Вантаж масою 40 кг скинули з літака. Після того як на висоті 400 м швидкість руху вантажу досягла 20 м/с, він почав рухатися рівномірно. Визначте: 1) повну механічну енергію вантажу: а) на висоті 400 м; б) в момент приземлення; 2) енергію, на яку перетворилася частина механічної енергії вантажу.
Дано:
$m = 40 кг$
$h_1 = 400 м$
$v = 20 м/с$
$g \approx 10 м/с^2$
Знайти:
$E_1 – ?$
$E_2 – ?$
$\Delta E – ?$
Розв’язання:
Повна механічна енергія на висоті 400 м ($E_1$):
$E_1 = E_{k1} + E_{p1} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_1$
$E_1 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 40 \cdot 10 \cdot 400 = \dfrac{40 \cdot 400}{2} + 160000 = 8000 + 160000 = 168000 Дж = 168 кДж$
Повна механічна енергія в момент приземлення ($E_2$):
В момент приземлення висота $h_2 = 0$, а швидкість залишається $v = 20 \text{ м/с}$.
$E_2 = E_{k2} + E_{p2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} + m \cdot g \cdot h_2$
$E_2 = \dfrac{40 \cdot 20^2}{2} + 0 = 8000 Дж = 8 кДж$
Енергія, на яку перетворилася частина механічної енергії:
Ця енергія є різницею між повною енергією на висоті 400 м і енергією в момент приземлення. Вона була втрачена через опір повітря
$\Delta E = E_1 – E_2$
$\Delta E = 168000 – 8000 = 160000 Дж = 160 кДж$
Відповідь:
- Повна механічна енергія: а) на висоті 400 м — 168 кДж; б) в момент приземлення — 8 кДж.
- Частина механічної енергії, що перетворилася на інші види (переважно теплову через опір повітря), становить 160 кДж.
Задача 7: Обернена задача до задачі на заставці
Умова (пряма задача): Кулька масою 50 г перебуває на гладкій горизонтальній поверхні, притиснута до пружини жорсткістю 125 Н/м, яку стиснули на 4 см. Визначте швидкість кульки після того, як пружина розпрямиться.
Складена обернена задача: Кулька масою 50 г, випущена з горизонтально розташованого пружинного пістолета, набула швидкості 2 м/с. Визначте жорсткість пружини, якщо її було стиснуто на 4 см.
Дано:
- $m = 50 г = 0,05 кг $
- $v = 2 м/с $
- $x = 4 см = 0,04 м $
- $v_0 = 0 $
Знайти: $k = ? $
Розв’язання:
Відповідно до закону збереження енергії, потенціальна енергія стиснутої пружини перетворюється на кінетичну енергію кульки:
$E_{p} = E_{k} $ $\dfrac{k \cdot x^2}{2} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} $
Звідси виразимо жорсткість пружини $k $:
$k \cdot x^2 = m \cdot v^2 $
$k = \dfrac{m \cdot v^2}{x^2} $
Підставимо числові значення:
$k = \dfrac{0,05 кг \cdot (2 м/с)^2}{(0,04 м)^2} = \dfrac{0,05 \cdot 4}{0,0016} = \dfrac{0,2}{0,0016} = 125 Н/м $
Відповідь: Жорсткість пружини становить 125 Н/м.